Эллиптические кривые и якобиевы многообразия гиперэллиптических кривых являются основным и важнейшим источником абелевых групп. При этом групповая операция может быть задана явным образом, и более того, может быть представлена в алгоритмическом виде в терминах арифметических операций над многочленами. В случае, когда базовое поле констант является конечным полем, получаются конечные абелевы группы, которые активно используются в криптографических приложениях, таких как протокол обмена ключами Диффи-Хеллмана и протоколах на основе спаривания.
Явная арифметическая структура позволяет эффективно проводить экспериментальные исследования различных теоретико-числовых вопросов, в том числе связанных с L-рядами абелевых многообразий над конечными полями и полями алгебраических чисел. Многие проблемы и гипотезы, изначально сформулированные для эллиптических кривых, получили естественные обобщения для абелевых многообразий более высокой размерности (например, аналоги гипотез Бёрча-Суиннертона-Дайера, Коблица-Зивины, Лэнга-Троттера и Сато-Тейта). Также интерес представляет изучение аналогов эвристик Коэна-Ленстры, в которых вместо квадратичных числовых полей рассматриваются квадратичные поля функций.
В связи с этим, изучение строения якобианов гиперэллиптических кривых над полями алгебраических чисел и над конечными полями является важным и актуальным направлением современной математики. В этом направлении важную роль играет проблема кручения в якобиане гиперэллиптической кривой и связанные с ней проблемы — проблема существования и нахождения фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях, проблема периодичности разложения в функциональную непрерывную дробь элементов гиперэллиптических полей, проблема разрешимости функциональных аналогов уравнения Пелля. Эти проблемы находятся на стыке таких актуальных и глубоких областей математики, как арифметическая геометрия, алгебраическая теория чисел, алгебраическая геометрия. В настоящий момент нет единого подхода, который мог бы приблизить к решению этих проблем, и каждое продвижение даётся с большим трудом. Полное решение указанных проблем невозможно без построения эффективных алгоритмов и высокопроизводительных компьютерных вычислений.
Проект, вошедший в число победителей в рамках открытого публичного конкурса на получение грантов Российского научного фонда по мероприятию «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс), реализуется при поддержке Российского научного фонда и федеральной территории «Сириус» (паритетное финансирование).
Одной из важнейших современных проблем алгебры и теории чисел является проблема кручения в якобиевых многообразиях (якобианах) гиперэллиптических кривых. Эта проблема является трудной и пока далека от полного решения. Среди подходов к решению этой проблемы в последнее время зарекомендовал себя подход, предложенный В.П. Платоновым. Суть этого подхода основана на глубокой связи между K-точками конечного порядка в якобиевом многообразии гиперэллиптической кривой, определённой над некоторым полем K, и фундаментальными единицами или S-единицами гиперэллиптического поля с полем констант K.
Проблему кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полями алгебраических чисел K можно разбить на следующие сложные и важные задачи:
доказательство ограниченности порядков подгрупп кручения в зависимости от рода g и степени расширения [K:Q];
перечисление групп, которые могут быть реализованы как подгруппы кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода g над полем K;
описание гиперэллиптических кривых, в якобианах которых реализуется порядок кручения m или реализуется конкретная группа, как подгруппа кручения якобиана.
Наши усилия в рамках проекта будут направлены на эффективные и описательные результаты в рамках указанных задач.
Наши исследования невозможны без высокопроизводительных вычислений с использованием параллельного и распределённого программного подхода. На основе программной реализации наших новых алгоритмов мы планируем найти новые примеры, демонстрирующие практическую сторону основных полученных результатов, а также имеющие собственный интерес.
Результаты теоретических и практических исследований могут быть использованы в криптографии в вопросах исследования стойкости существующих криптосистем и при создании новых криптографических протоколов, а также в разделе защиты информации финансовой математики, в том числе в перспективных системах распределённого реестра, на основе которых могут быть реализованы новые семейства цифровых финансовых активов.
В рамках проекта планируется обобщить метод, предложенный Э. Флином, Ф. Лепрево и Х. Огавой (см. дополнительно работы Н. Элкиса, Э. Хоу, М. Кронберга, К. Никколса) для поиска параметрических семейств и отдельных кривых, якобианы которых обладают классами дивизоров определённого вида. Для обобщения этого метода планируется применить следующие идеи: 1) построение системы соотношений на дивизоры общего вида (ранее рассматривались только дивизоры, составленные из рациональных K-точек кривой); 2) универсальное сведение системы соотношений на дивизоры к системе алгебраических уравнений с неопределёнными коэффициентами; 3) упрощение системы алгебраических уравнений с неопределёнными коэффициентами с помощью универсальных подстановок, редукций по простому модулю или переходу к расширенному полю констант; 4) применение базисов Гребнера к исследованию упрощённой системы.
Другим направлением исследований в рамках проекта является изучение множества K-точек на гиперэллиптической кривой C, образы которых являются точками кручения при естественном вложении C(K) в K-точки якобиана J(K). В теореме М. Рейно (гипотеза Манина-Мамфорда) утверждается, что при роде g>1 и при нулевой характеристике базового поля K множество точек, лежащих в пересечении образа C(K) и J(K)_tor конечно. Важно отметить, что указанная теорема не конструктивна в том плане, что не позволяет описать это конечное множество точек, а также не позволяет построить кривые C, для которых реализуется некоторое подмножество K-точек кручения с заданными условиями на порядки соответствующих им классов дивизоров в якобиане J. Кроме того, утверждение теоремы М. Рейно не выполняется, если в качестве базового поля K рассмотреть конечное поле F_q.
В рамках проекта планируется продолжить исследования Р. Колемана, К. Рибера, Б. Беккера и Ю. Зархина в части изучения гиперэллиптических кривых, для которых реализуется некоторое конечное подмножество точек, лежащих в пересечении Ф(C(K)) и J(K)_tor при вложениях Ф кривой C(K) в K-точки якобиана J(K) кривой C. Планируется получение верхних границ количества таких точек, а также построение примеров гиперэллиптических кривых и семейств гиперэллиптических кривых, реализующих множество, лежащее в пересечении Ф(C(K)) и J(K)_tor при заданных условиях на порядки соответствующих классов дивизоров в якобиане J.